基于5G通信的定位感知——AOA解算
概述
5G-NR，具有⾼速、低延迟的特性，是现代通信强有⼒的技术之一。又因广泛的基站建设，5G逐渐覆盖日常生活中的每个角落，随着覆盖范围的扩张，不仅意味着越来越稳定的通信，感知，更是随之不断的发展。
下⾯，本文将针对无人机向5G基站通信这一应用场景，尝试通过仿真验证利用无人机与5G基站的通信能够实现利用 CSI 解算出无人机的位置信息，如 AOA、AOD、ToF 等参数，验证 MUSIC 算法的可行性。下面是对如何通过通信的 CSI 实现对位置信息感知的理论描述。
理论篇
信号在发送端天线的传播特性
发送端（无人机）仅考虑单根天线进行收发，且天线是全向极化天线。信号由无人机发出，向四面八方发送信号，这些信号在Tx天线处发出时对应的角度我们称为 AOD（Angle of Departure）。在 Tx 处的AOD有很多不同的值，我们近似认为范围为 [0, 2*pi]。
由于发送端 —> 接收端的距离很远，信号在信道中传输之后在到达5G基站的天线阵列时，我们近似认为这些信号可以被视为平⾏波。
接收端天线阵列接收信号
由于信号在信道中传递有多径特性，其中某⼀个单径上的信号在到达天线阵列时可以被视为⼀组平⾏波。
下面我们仅考虑某一个单径上的信号，这个信号以一组平行波的形式被接收端的天线阵列接收。作⼀条垂直于平⾏波的虚线，我们可以近似认为它与这一组平⾏波的交点所对应的信号相位相同，即这个虚线是一个等相线。由上图可⻅相邻两根天线之间信号传播距离相差 L，又因为波⻓与相应间存在某种关系，我们可以理解为，传播的距离差 L 等价于信号到达天线的相位差 φ。因此可以说,相邻两概天线在同时接收到的信号之间差⼀个恒定的 φ 。以另⼀个⻆度上说，同时接收 N 个天线上的信号且相邻信号之间差⼀个 φ，那么我们可以压缩天线，我只对第⼀根天线接收的信号采样，采样间隔 t = L/c = φ/f （ c 是光速，f 是信号的频率）。
以第⼀根天线接收的信号为基准定义为 S0 = exp(j*2*pi*d*cosx),如此其余天线接收的信号就能够定义为 Sk = exp(j*2*pi*k*d*cosx) = （exp(j*2*pi*d*cosx)）^k 等等，第k根天线的信号是第一根天线的k次方，又因为第k根天线相较于第一根天线有 k * d 的距离差，表现在信号上有k次方的关系，于是我们认为，第k根天线相较于第一根天线有 φ^k 的相位延迟。若我们定义第一根天线没有延迟，那么我们就可以写出第一条单径对应信号的导向矢量
又因为多径，不同AOA的信号同时到达接收天线阵列，彼此叠加。所以我们在天线处采样得到的信号，是K个不同AOA路径信号的叠加。我们多次进行采样，一共采样 M 次就可以得到 MxN 的导向矩阵。
又因为每个列向量（导向矢量）的元素之间是成指数递增的关系，因此根据矩阵论的相关知识，该导向矩阵是满秩的。
AOA解算
这里我们假设一共有一根 Tx ，3根 Rx，这里我们考虑两条多径（一条直射、一条反射）。
对天线上接收的信号进行采样，每一次采样计算出来的导向矢量是由两条路径对应不同的导向矢量叠加得到。我们多次进行采样，这些采样得到的所有导向矢量构成一个导向矩阵，该导向矩阵一定是满秩的。
每一个导向矢量，xyz三个坐标，对应在一个三维空间中的一个位置，采样了 m 次，则一共有 m 个三维空间中的矢量，每一个矢量又是由两条路径对应的导向矢量通过平行四边形法则叠加得到。两条路径的导向矢量不同是因为不同路径到达接收天线阵列的AOA不同，因此导向矢量也不同。我们可以假设，如果有无数条路径，这些路径对应的AOA也不同，意味着有无数条不同的导向矢量，这些导向矢量的末端连起来必然是一个封闭的空间曲线（因为AOA有界）。
已知每一个导向矢量对应一个AOA，导向矢量的模长受到对应信道时变衰落的影响，因此每一个导向矢量是对应方向延长线上的点。由于不同AOA的信号在天线处叠加，采样得到的导向矢量对应在空间中是不同AOA导向矢量的加权（信道衰落）和。
如果每次采样的信号是由两个多径信号叠加，那么采样信号的导向矢量就是这两个多径信号的导向矢量加权和。又两个向量可以张成一个二维的平面（子空间），我们称这个子空间为 信号子空间。
假设你的信道中没有噪声，那么我们可以推断出，无论采样多少次，每次采样的信号对应的导向矢量一定属于这个信号子空间。n 条路径 m 根接收天线对应的信号子空间维数为 R_min = min(n, m)。因为信号子空间的维数一定小于或者等于整个导向矢量的空间维数，因此一定可以找到一个垂直于信号子空间的基，这个基对应的空间我们称为 噪声子空间。如果你的信道中有噪声，你的导向矢量在空间中表现为在垂直信号子空间的方向上有一定的偏移
实际解算过程
同时对 N 个天线阵元采样得第⼀个导向矢量；多次采样得 M 个导向矢量；每一个导向矢量是来自 K 个路径的信号叠加（每个路径的AOA不同）。
得到导向矢量矩阵 A = [P_1, P_2, …, P_n] ，矩阵的形状为 M x N 且一定是满秩的，信号子空间为维度为天线阵元数量与多径数量中的较小值。假设信号子空间为 K 维，导向矢量的空间维度为 N 维，对导向矢量矩阵做特征值分解，能够得到 N 个特征矢量，其中 K 个构成了信号子空间，也对应着 K 个多径各自的 AOA。
